Дали екип от математици просто направи голяма стъпка към отговора на 160-годишен въпрос с милион долара по математика?
Може би. Екипажът реши много други, по-малки въпроси в поле, наречено теория на числата. И по този начин те отново отвориха стара алея, която в крайна сметка може да доведе до отговор на стария въпрос: Правилна ли е хипотезата на Риман?
Хипотезата на Рейман е основна математическа предположение, която има огромни последици за останалата част от математиката. Той е в основата на много други математически идеи - но никой не знае дали е истина. Валидността му се превърна в един от най-известните открити въпроси в математиката. Това е един от седемте „Проблеми на хилядолетието“, изложени през 2000 г., с обещанието, че който ги реши, ще спечели 1 милион долара. (Оттогава е решен само един от проблемите.)
Откъде се появи тази идея?
Още през 1859 г. немски математик на име Бернхард Риман предлага отговор на особено трънливо математическо уравнение. Неговата хипотеза върви така: Реалната част от всяка нетривиална нула от зета функцията на Риман е 1/2. Това е доста абстрактно математическо изявление, свързано с какви числа можете да поставите в определена математическа функция, за да направите тази функция равна на нула. Но се оказва, че има голямо значение, най-важното по отношение на въпросите колко често ще срещнете прости числа, докато броите до безкрайност.
Ще се върнем към детайлите на хипотезата по-късно. Но важното, което сега трябва да знаем, е, че ако хипотезата на Риман е вярна, тя отговаря на много въпроси от математиката.
"Толкова често в теорията на числата това, което в крайна сметка се случва, е, ако приемете хипотезата на Риман, след това сте в състояние да докажете всякакви други резултати", Лола Томпсън, теоретик на числата в Oberlin College в Охайо, която не участва в това последно проучване, каза.
Често, каза тя на Live Science, теоретиците на числата първо ще докажат, че нещо е вярно, ако хипотезата на Риман е вярна. Тогава те ще използват това доказателство като нещо като стъпка към по-сложно доказателство, което показва, че първоначалното им заключение е вярно независимо дали хипотезата на Риман е вярна или не.
Фактът, че този трик работи, каза тя, убеждава много математици, че хипотезата на Риман трябва да е вярна.
Но истината е, че никой не знае със сигурност.
Малка стъпка към доказателство?
И така, как изглежда този малък екип от математици ни приближи до решение?
„Това, което направихме в нашия документ“, казва Кен Оно, теоретик на числата в университета Емори и съавтор на новото доказателство, „ревизиран ли сме много технически критерий, еквивалентен на хипотезата на Риман… и доказахме, че сме голям част от него. Доказахме голяма част от този критерий. "
"Критерий, еквивалентен на хипотезата на Риман", в този случай се отнася до отделно твърдение, което е математически еквивалентно на хипотезата на Риман.
На пръв поглед не е очевидно защо двете твърдения са толкова свързани. (Критерият е свързан с нещо, наречено „хиперболичност на полиномите на Йенсен.“) Но през 20-те години унгарският математик на име Джордж Поля доказа, че ако този критерий е верен, то хипотезата на Риман е вярна - и обратно. Това е стар предложен маршрут към доказване на хипотезата, но този, който до голяма степен беше изоставен.
Оно и неговите колеги, в документ, публикуван на 21 май в списанието Proceedings of the Natural Academy of Sciences (PNAS), доказаха, че в много, много случаи критерият е верен.
Но по математика много от тях не са достатъчни, за да се считат за доказателство. Все още има някои случаи, в които те не знаят дали критерият е верен или невярен.
"Това е като да играеш Powerball с милион номер", каза Оно. "И вие знаете всички числа, но последните 20. Ако дори едно от последните 20 числа е грешно, вие губите ... Все още може да се разпадне."
Изследователите ще трябва да представят още по-усъвършенствано доказателство, за да покажат, че критерият е верен във всички случаи, като по този начин доказва хипотезата на Риман. И не е ясно колко далеч е такова доказателство, каза Оно.
И така, колко голяма сделка е тази книга?
По отношение на хипотезата на Риман е трудно да се каже колко голяма е тази сделка. Много зависи от това, което се случва след това.
"Това е само една от многото еквивалентни формулировки на хипотезата на Риман", каза Томпсън.
С други думи, има много други идеи, които подобно на този критерий биха доказали, че хипотезата на Риман е вярна, ако самите те бяха доказани.
„Значи, наистина е трудно да се знае колко голям е напредъкът, защото от една страна е постигнат напредък в тази посока. Но има толкова много еквивалентни формулировки, че може би тази посока няма да даде хипотеза на Риман. Може би една от другите еквивалентни теореми вместо това ще имат, ако някой може да докаже една от тях “, каза Томпсън.
Ако доказателството се появи по този път, това вероятно ще означава, че Оно и неговите колеги са разработили важна основна рамка за решаване на хипотезата на Риман. Но ако се появи някъде другаде, тогава тази хартия ще се окаже по-малко важна.
Все пак математиците са впечатлени.
"Въпреки че това остава далеч от доказването на хипотезата на Риман, това е голяма стъпка напред", пише в придружаваща статия от 23 май Енрико Бомбиери, теоретик на броя на Принстън, който не е участвал в изследванията на екипа. "Няма съмнение, че този документ ще вдъхнови по-нататъшна фундаментална работа в други области на теорията на числата, както и в математическата физика."
(Бомбиери спечели медал Фийлдс - най-престижната награда в математиката - през 1974 г., в голяма степен за работа, свързана с хипотезата на Риман.)
Какво означава хипотезата на Риман?
Обещах, че ще се върнем към това. Ето отново хипотезата на Риман: Реалната част от всяка нетривиална нула на функцията на Риман Зета е 1/2.
Нека разбием това според начина, по който го обясниха Томпсън и Оно.
Първо, каква е функцията на земата на Риман?
В математиката функция е връзка между различни математически величини. Един прост може да изглежда така: y = 2x.
Зета функцията на Риман следва същите основни принципи. Само че е много по-сложно. Ето как изглежда.
Това е сбор от безкрайна последователност, където всеки термин - първите няколко са 1/1 s, 1/2 ^ s и 1/3 ^ s - се добавят към предишните термини. Тези елипси означават, че серията във функцията продължава така завинаги.
Сега можем да отговорим на втория въпрос: Какво е нула на зета функцията на Риман?
Това е по-лесно. "Нула" на функцията е всяко число, което можете да въведете за x, което кара функцията да е равна на нула.
Следващ въпрос: Каква е „истинската част“ на една от тези нули и какво означава, че тя е равна на 1/2?
Зета функцията на Риман включва това, което математиците наричат „сложни числа“. Сложно число изглежда така: a + b * i.
В това уравнение "a" и "b" означават реални числа. Реалното число може да бъде всичко от минус 3, до нула, до 4.9234, пи или 1 милиард. Но има и друг вид число: въображаеми числа. Въображаемите числа се появяват, когато вземете квадратния корен на отрицателно число и те са важни, като се показват във всички видове математически контексти.
Най-простото въображаемо число е квадратният корен на -1, който се записва като „i“. Сложното число е реално число ("a") плюс друго реално число ("b") пъти i. "Реалната част" на сложно число е, че "а".
Няколко нули от Zeta функцията на Риман, отрицателни цели числа между -10 и 0, не се считат за хипотезата на Рейман. Те се считат за "тривиални" нули, защото те са реални числа, а не сложни числа. Всички останали нули са "нетривиални" и сложни числа.
В хипотезата на Риман се казва, че когато зета функцията на Риман пресича нула (с изключение на тези нули между -10 и 0), реалната част от комплексното число трябва да е равна на 1/2.
Това малко твърдение може да не звучи много важно. Но е. И ние може да сме само малко по-близо до решаването му.
