Моят усет към физиката ми казва, че скоростта на изхвърляне е скоростта на бягство.
Това минимизиране може да работи по-добре при съотношение на общата промяна на енергията на астероидната система плюс изхвърления материал към енергията на изхвърления материал. Ракетното уравнение е от полза. Ракетното уравнение е запазване на инерционния резултат с
d (mv) / dt = 0 -> (m -? m) (v +? v) -? mV = 0
където V е скоростта на реакционната маса, a v и m е промяната в скоростта и загубата на маса на „ракетата“, или в този случай астероидът, а m и v са първоначалната маса и скорост на обекта. Задаваме v = 0 и получаваме
? v = V (? m / m)
и скоростта, интегрирана нагоре, е v = V ln (m_i / m_f), за m_i началната маса и m_f крайната маса. Ако промяната в масата е малка имаме
v ~ = V (m_i / m_f - 1)
и импулсът на астероида в края е p ~ = V (m_i - m_f). Сега оставяме V = u - v_e, за v_e скоростта на бягство и u скоростта на обекта се отхвърля. Това означава, че V е скоростта на отхвърления обект „до безкрайност“.
Нека предположим, че искаме да сведем до минимум кинетичната енергия на астероида K = (1/2) p ^ 2 / m_f за дадено отхвърляне на кинетичната енергия E = (1/2)? Mu ^ 2. Ние изграждаме безразмерно съотношение,
R = p ^ 2 / m_f / (? Mu ^ 2 / = (p / u) ^ 2 / (? Mm_f) = (? M / m_f) (1 - v_e / u) ^ 2.
BTW, важно е да се работи с безразмерно съотношение. Така че минимизираме това за даден? M и изчисляваме u. Така свеждаме до минимум
F (u) = (1 - v_e / u) ^ 2, -> dF (u) / du = -2 (1 - v_e / u) * v_e / u ^ 2,
и това е нула при v_e = u. Това изглежда малко странно предвид формулата на ракетното уравнение, но ще обсъдя това по-долу.
След това вземаме второто производно, за да определим дали това е макс или мин и получаваме
d ^ 2F (u) / du ^ 2 = 4 (1 - v_e / u) * (v_e / u ^ 2) ^ 2 - 2 (v_e / u ^ 2) ^ 2
което при u = v_e е -2 <0 и така е мин. това, което искаме. Ясно е също, че u = v_e е минималната кинетична енергия, която можем да предадем на масата.
Странно звучи, че имаме v ~ = V (m_i / m_f - 1), което за V = u - v_e е нула при u = v_e. Въпреки това, за u = v_e астероидът се движи, докато изхвърленият обект достигне безкрайност. Целта на това е да се създаде изместване на астероида и тъй като изхвърленият обект достигне „безкрайност“, астероидът ще достигне известно разстояние от изместване.
LC
