"До безкрайност и отвъд!"
Замисляли ли сте се дори дълбоко за известната криптовалута на Buzz Lightyear от филмите „Историята на играчките“? Вероятно не. Но може би понякога сте поглеждали към нощното небе и сте се чудили на самата природа на безкрайността.
Безкрайността е странно понятие, такова, че човешкият мозък трудно обгръща своето ограничено разбиране. Ние казваме, че Вселената може да е безкрайна, но може ли наистина просто да продължи завинаги? Или цифрите на pi след десетичната запетая - те действително ли вървят безкрайно, винаги ни дават толкова по-голяма точност относно съотношението между обиколката на кръга и радиуса? И може ли Бъз да е прав? Има ли нещо отвъд безкрайността?
За да се справи с тези умопомрачителни спекулации, Live Science се обърна към помощта на математика Хенри Тоснър от Университета на Пенсилвания във Филаделфия, който беше любезен да опита да отговори на въпроса: "Можете ли да преброите безкрайността?" (Внимавайте: това ще стане сложно.)
Безкрайността, каза Тоснър, седи на странно място: Повечето хора се чувстват, че имат някаква интуиция относно концепцията, но колкото повече мислят за нея, толкова по-странно става.
Математиците, от друга страна, не мислят често за безкрайността като за концепция, добави той. По-скоро те използват различни начини да мислят за това, за да се запознаят с неговите много аспекти.
Например, има различни размери на безкрайността. Това е доказано от германския математик Георг Кантор в края на 1800 г., според история от Университета Сейнт Андрюс в Шотландия.
Кантор знаеше, че естествените числа - тоест цели, положителни числа като 1, 4, 27, 56 и 15 687 - продължават завинаги. Те са безкрайни и те също са това, което ние използваме, за да броим нещата, така че той ги определи като "счетливо безкраен", според полезен сайт по история, математика и други теми от образователния карикатурист Чарлз Фишър Купър.
Групи с безкрайно много числа имат някои интересни свойства. Например, четните числа (2, 4, 6 и т.н.) също са безкрайно безкрайни. И макар технически да има половината от толкова, колкото това, което е обхванато от пълния набор от естествени числа, те все още са един и същи вид безкрайност.
С други думи, можете да поставите всички четни числа и всички естествени числа един до друг в две колони и двете колони ще отидат до безкрайността, но те са една и съща "дължина" на безкрайността. Това означава, че половината от преброената безкрайност все още е безкрайност.
Но голямото прозрение на Кантор беше да осъзнае, че има и други набори от числа, които са безчет безкрайни. Реалните числа - които включват естествените числа, както и дроби и ирационални числа като pi - са по-безкрайни от естествените числа. (Ако искате да знаете как Cantor го е направил и може да се справи с някаква математическа нотация, можете да разгледате този работен лист от университета в Мейн.)
Ако подредите всички естествени числа и всички реални числа един до друг в две колони, реалните числа ще се простират отвъд безкрайността на естествените числа. По-късно Кантор полудява, вероятно по причини, несвързани с работата му в безкрайността, според Купър.
Какво е броенето?
И така, обратно към въпроса за броенето на миналата безкрайност. „Това, което математиката те кара да питаш е:„ Какво всъщност означава това? “, Каза Тоснър. "Какво искаш да кажеш, като броиш миналата безкрайност?"
За да стигне до въпроса, Тоснър говори за порядъчните номера. За разлика от кардиналните числа (1, 2, 3 и т. Н.), Които ви казват колко неща са в набор, наредбите се определят от техните позиции (първо, второ, трето и т.н.) и те също са били въведени в математиката от Cantor, според математическия уебсайт Wolfram MathWorld.
В порядковите числа е понятие, наречено омега, обозначено с гръцката буква ω, каза Тоснер. Символът ω се определя като нещото, което идва след всички останали естествени числа - или, както го нарича Кантор, първият безкраен порядък.
Но едно от нещата при числата е, че винаги можете да добавите още едно в края, каза Тоснър. Така че има такова нещо като ω + 1, и ω + 2 и дори ω + ω. (В случай, че се чудите, в крайна сметка удряте число, наречено ω1, което е известно като първия неизброим порядък.)
И тъй като броенето е нещо като добавяне на допълнителни числа, тези понятия по някакъв начин ви позволяват да преброите миналото безкрайност, каза Тоснер.
Странността на всичко това е част от причината математиците да настояват за строго определяне на техните условия, добави той. Освен ако всичко не е наред, е трудно да отделим нашата нормална човешка интуиция от онова, което може да бъде доказано математически.
„Математиката ви казва:„ Интроспективно дълбоко, какво се брои? “, Каза Тоснър.
За нас простосмъртните тези идеи може да са трудни за пълно изчисляване. Как точно работещите математици се справят с целия този забавен бизнес в ежедневните си изследвания?
„Много от това е практика“, каза Тоснър. „Развивате нови интуиции с излагане на въздействие и когато интуицията се провали, можете да кажете:„ Говорим за това точно стъпка по стъпка строго доказателство “. Така че, ако това доказателство е изненадващо, все пак можем да проверим дали е правилно и след това да се научим да развиваме нова интуиция около това. "
